Propriétés algébriques

Pr opositions

Soit $\theta$ et ${\theta }^{\prime }$  des réels et soit $n\in \mathbb{Z}$ . On a les propriétés suivantes :

1. ${\text{e}}^{i\theta }\times {\text{e}}^{i{\theta }^{\prime }}={\text{e}}^{i(\theta +{\theta }^{\prime })}$

2. ${\displaystyle \frac{{\text{e}}^{i\theta }}{{\text{e}}^{i{\theta }^{\prime }}}}={\text{e}}^{i(\theta -{\theta }^{\prime })}$

3. ${\left({\text{e}}^{i\theta }\right)}^n={\text{e}}^{in\theta }$

Démonstration

1. On a :
$\begin{array}{rl}{\text{e}}^{i\theta }\times {\text{e}}^{i{\theta }^{\prime }}& =(\cos (\theta )+i\sin (\theta ))(\cos ({\theta }^{\prime })+i\sin ({\theta }^{\prime }))\\ & =\cos (\theta )\cos ({\theta }^{\prime })+i\cos (\theta )\sin ({\theta }^{\prime })+i\sin (\theta )\cos ({\theta }^{\prime })+i^2\sin (\theta )\sin ({\theta }^{\prime })\\ & =\underset{=\cos (\theta +{\theta }^{\prime })}{\underbrace{\cos (\theta )\cos ({\theta }^{\prime })-\sin (\theta )\sin ({\theta }^{\prime })}}+i\underset{=\sin (\theta +{\theta }^{\prime })}{\underbrace{[\sin (\theta )\cos ({\theta }^{\prime })+\sin ({\theta }^{\prime })\cos (\theta )]}}\\ & =\cos (\theta +{\theta }^{\prime })+i\sin (\theta +{\theta }^{\prime })\\ & ={\text{e}}^{i(\theta +{\theta }^{\prime })}\end{array}$
donc ${\text{e}}^{i\theta }\times {\text{e}}^{i{\theta }^{\prime }}={\text{e}}^{i(\theta +{\theta }^{\prime })}$ .

2. Comme ${\displaystyle \frac{1}{{\text{e}}^{i{\theta }^{\prime }}}}={\text{e}}^{-i{\theta }^{\prime }}$ , en utilisant de plus la propriété 1 , on a 
$\begin{array}{r}{\displaystyle \frac{{\text{e}}^{i\theta }}{{\text{e}}^{i{\theta }^{\prime }}}}={\text{e}}^{i\theta }\times \frac{1}{{\text{e}}^{i{\theta }^{\prime }}}={\text{e}}^{i\theta }\times {\text{e}}^{-i{\theta }^{\prime }}={\text{e}}^{i(\theta +(-{\theta }^{\prime }))}={\text{e}}^{i(\theta -{\theta }^{\prime })}\end{array}$
donc ${\displaystyle \frac{{\text{e}}^{i\theta }}{{\text{e}}^{i{\theta }^{\prime }}}}=e^{i(\theta -{\theta }^{\prime })}$ .

3. Pour $n\in \mathbb{N}$ , on note $\mathcal{P}(n)$ la propriété : ${\left({\text{e}}^{i\theta }\right)}^n={\text{e}}^{in\theta }$ .

Initialisation
Montrons que $\mathcal{P}(0)$ est vraie, c'est-à-dire : ${\left({\text{e}}^{i\theta }\right)}^0={\text{e}}^{0i}$ .  
D'une part : ${\left({\text{e}}^{i\theta }\right)}^0=1$ .
D'autre part : ${\text{e}}^{0i}=\cos (0)+i\sin (0)=1$ .
La propriété $\mathcal{P}(0)$ est donc vraie.

Hérédité
$n\in \mathbb{N}$ . On suppose qu'il existe un entier tel que $\mathcal{P}(n)$ est vraie.
Montrons que $\mathcal{P}(n+1)$ est vraie, c'est-à-dire : ${\left({\text{e}}^{i\theta }\right)}^{n+1}={\text{e}}^{i(n+1)\theta }$ .
On a :
$\begin{array}{rl}{\left({\text{e}}^{i\theta }\right)}^{n+1}& ={\left({\text{e}}^{i\theta }\right)}^n\times {\text{e}}^{i\theta }\\ & =e^{in\theta }\times {\text{e}}^{i\theta }\text{ par hypothèse de récurrence,}\\ & ={\text{e}}^{i(n+1)\theta }\text{ d'après la propriété 1.}\end{array}$
La propriété $\mathcal{P}(n+1)$ est donc vraie.

Conclusion
$\mathcal{P}(n)$ est initialisée à  $n=0$ et est héréditaire à partir du rang 0 , elle est donc vraie pour tout $n\in \mathbb{N}$ .

Il reste à montrer que ${\left({\text{e}}^{i\theta }\right)}^n={\text{e}}^{in\theta }$ pour tout $n\in \mathbb{Z}\setminus \mathbb{N}$ .

Soit  $n\in \mathbb{Z}\setminus \mathbb{N}$ . Ainsi $-n\in \mathbb{N}$  donc, d'après ce qui précède, ${\left({\text{e}}^{i\theta }\right)}^{-n}={\text{e}}^{-in\theta }$ .

On a alors :
$\begin{array}{rl}{\left({\text{e}}^{i\theta }\right)}^n& =\frac{1}{{\left({\text{e}}^{i\theta }\right)}^{-n}}=\frac{1}{{\text{e}}^{-in\theta }}={\text{e}}^{in\theta }\end{array}$
donc ${\left({\text{e}}^{i\theta }\right)}^n={\text{e}}^{in\theta }$ .